?

נניחשאתםגריםבעירולוקחיםאוטובוסכדילהגיעלביתהספר。מאחרשאוטובוסיםמגיעיםלעיתיםקרובותבשכונתכם,אוליאינכםצריכיםלהקדישתשומתלבמיוחדתללוחהזמניםשלהאוטובוס。ייתכןשאתםפשוטהולכיםלתחנתהאוטובוסהקרובה,ועוליםעלהאוטובוסהבא(ראואיור1)．אולם,אםאתםמגיעיםלתחנהואיןלכםמושגמתייגיעהאוטובוסהבא,כמהזמןתצטרכולהמתיןלו吗?

-10年נניחשאוטובוסיםמגיעיםבמהלךכלשעה(ראואיור1 b)，ךל6。אםהאוטובוסהאחרוןעוזבממשלפנישאתםמגיעיםלתחנה,ייתכןשתצטרכולהמתין5או6דקותלאוטובוסהבא。אםהאוטובוסהאחרוןעוזבכמהדקותלפנישאתםמגיעיםלתחנה,ייתכןשהאוטובוסהבאיגיעעודדקהבלבד,אואולי4דקות,אואולי2דקות?ניחושמושכלעבור”זמןההמתנה”הוא3דקות——מחציתהזמןביןאוטובוסיםבממוצע。回绝回绝回绝回绝回绝回绝回绝回绝回绝回绝回绝回绝回绝回绝回绝回绝回绝回绝ל。זמןההמתנההצפוישלכםיכוללהיותאפילוארוךיותרמ6דקות。התופעההזונקראתפרדקסז［2，1］．פרדוקסהואמשהושנדמהכבלתיהגיוני,אךלמעשהמתבררכנכון。אנשיםרביםחושביםכיפרדוקסזמןההמתנההואפרדוקסמאחרשזמןההמתנההטיפוסיבתחנתהאוטובוסארוךממחציתפרקהזמןשביןהַגָּעַתאוטובוסים(שהוא3דקותבדוגמהלעיל)。פרדוקסזמןההמתנההואתופעהמתמטית,ואיןלהקשרלאוטובוסים。?!

?

כדילהביןזאת,התבוננובלוחהזמניםשלהאוטובוסבאיור2 a．בלוחהזמניםהזה,שהואפשוטיותרמלוחהזמניםשבאיור1,אוטובוסיםמגיעיםבמרווחיםשל4דקותאושל12דקות。▪▪לאיור1 b,ישזמניםשנראיםלאעקביים,וישנםמרווחיםשוניםביןזְמַנֵּיהַגָּעַתהאוטובוס。באופןכללי,כשסיטואציהנראיתמורכבת,כדאילְפַשֵּׁטאותהלפנישמבצעיםהנמקהמתמטית——אנשיםהעוסקיםבתחוםהמתמטיקהעושיםזאתכלהזמן。פרדוקסזמןההמתנהמתרחשבלוחהזמןהמפושטשלהאוטובוס,וההפשטהמקלהעלההבנהשלמהמתרחש。

ריהזמןשבין——אירועים，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„לאיור2 aמצביעעלכךשבכלשעהשישהאוטובוסיםמגיעיםמיידלאחרזמןבין——אירועיםשל4דקות(בכחול),ושלושהאוטובוסיםמגיעיםמיידאחריזמןבין——אירועיםשל12דקות(באדום)。בתרחיששלנו,היזכרובכךשהגעתםלתחנתהאוטובוסבלילדעתמתייגיעהאוטובוסהבא。בשפהשלתורתההסתברות,אנואומריםשאתםמגיעיםלתחנתהאוטובוסבזמןשנבחר迎新迎新迎新迎新迎新迎新迎新迎新迎新．האםאתםחושביםשסביריותרלחוותזמןבין——אירועיםשל4דקותאושל12דקות?אםאתםמקבליםזמןהמתנהשל4דקות,לאתמתינוזמןרבלאוטובוסהבא。אךאםאתםמקבליםזמןהמתנהשל12דקות,אתםעשוייםלהמתיןזמןרב。כפישציינולעיל,שישהזמניםבין——אירועיםהםבאורךשל4דקות,ושלושהזמניםבין——אירועיםהםבאורךשל12דקות。

ני

חשבועלזהכך:אוליסבירשתקבלוזמןבין——אירועיםשל4דקותמאחרשישנםשישהכאלהבכלשעה,אולםזמניםבין——אירועיםשל12דקותמתרחשיםרקשלושפעמיםבשעה。הראשוןמתרחשבהסתברותשל6/(6 + 3) = 2/30.67,שזהבערךולכןהמצבהזהמתרחש67%מהזמן(ראואיור2 b)．ל3/(6 + 3) = 1/3，לר。הגעהלתחנתהאוטובוסבאופןאחידבאקראיהיאכמוסיבובשלגלגלעםהמספרים0עד59עלכל”פיסה”שלהגלגל(כךשישנן60פיסותבסךהכול),עצירתועםאצבעכםוהתבוננותבחתיכהשבההאצבענוגעת。אםאצבעכםמצביעהעל33岁זהאומרשתגיעולתחנתהאוטובוסב33。במקרההזה,תצטרכולהמתין3דקותלאוטובוסהבא,אשרמגיעב北京时间。הגלגלמספקדרךלסייעלנולהביןאתהכוונהב”אחידותבאקראי”。כלדקהעלהגלגלצבועה,כאשרכחולמתייחסלזמןבין——אירועיםשל4דקות,ואדוםמתייחסלזמןשל12דקות。באיור2 c,אנורואיםשישנן24דקותכחולותו-36דקותאדומות。מהתמונההזו,ניתןגםלראותשישלנוסבירותגדולהיותרלקבלזמןבין——אירועיםשל12דקות(מתרחשבהסתברותשל0.6)ביחסלזמןשל4דקות(מתרחשבהסתברותשל0.4)(ראואיור2 d)．

אףעלפישרקשלישמתוךתשעתהזמניםשבין——אירועים(אםכןישנהּהסתברותשל1/3בקבלתאחד)הםבאורךשל12דקות,עדייןסביריותר(בפרט,ההסתברותהי0.6)אלקבלאחדמאלהמאשראחדמהזמניםבין——אירועיםשאורכם4דקות。התשובהלכךטמונהבעובדהפשוטה:זמןארוךבין——אירועיםהואארוך,וזמןקצרהואקצר。זמןארוךבין——אירועיםתופס12מספריםבגלגלהמשחק,אךהזמןהקצרתופסרק4מספרים。ל12 × 3 = 3660。סיםרק4 × 6 = 24דקות。כתוצאהמכך,נדירותושלזמןבין——אירועיםבלוחהזמניםשלהאוטובוסלאמורהעלכךשנדירלפגושאתאותוהזמןבין——אירועים。עלידיביצועחישוביםמסוימיםעםלוחהזמניםשלהאוטובוסבאיור2 a,אנורואיםשהניחושהנאיביעבורכמותהזמןשאתםצריכיםלצפותלהמתין(מחציתהממוצעשלהזמןשבין——אירועים)הוא3דקותו-20שניות,אךזמןההמתנההממוצעהמעשיהוא4דקותו-24שניות。בלוחהזמניםבאיור1 b,הניחושהנאיביעבורזמןההמתנההממוצעהוא3דקות,וזמןההמתנההממוצעבפועלהוא3דקותו-40שניות。נניחשכלהזמניםשבין——אירועיםאורכים6דקות,כלומרשהאוטובוסיםמגיעיםכל6דקותבדיוק。במקרההזה,כבראיןפרדוקסזמןהמתנה,מאחרשהניחושהנאיביוזמןההמתנההממוצעבפועלאורכיםשניהם3דקות。כדישפרדוקסזמןההמתנהיתרחש,נדרששתהיהלנותערובתשללפחותשניזמניםבין——אירועים,כמולמשל4דקותו-12דקות。

יישומיםוהרחבות

פרדוקסזמןההמתנהתָּקֵףלהרבהיותרמאשרזמניהמתנהלאוטובוס。זמניםבין——אירועיםהםבעליחשיבותבסיטואציותרבות。חשבועל”אירוע”שלשיחהעםחֲבֵרָהלכיתהבביתהספר。הזמניםשבין——אירועיםהםכמותהזמןשביןשיחותעםחבריהכיתה(ראואיור3)．זמןאחדבין——אירועיםיכוללהיות2דקות,והזמןהבאיכוללהיות11דקות。בפעילויותחברתיות,שלאכמולוחותזמניםשלאוטובוסים,לעיתיםקרובותישנהּשׁוֹנוּתרבהבזמניםשבין——אירועים。באיור3 b,אנומראיםהיסטוגרמהשלזמניםבין——אירועיםעבורתלמידיםבביתספרבצרפת[3.］．בהיסטוגרמה,אנומצייניםאתהפעמיםמשמאללימיןבסדרעולה。הגובהשלכלעמודהבהיסטוגרמהמצביעעלמספרהפעמיםשכלזמןבין——אירועיםמתרחש。מרביתהזמניםבין——אירועיםהםקצרים(כמולמש20אלו40שניות),אךחלקקטןמהםהואארוך(כמולמשלבין200ל-400שניות)。

בדוגמהשלפרדוקסזמןההמתנהעםאוטובוסים,ראינושאפילואםישנםרקשלושהזמניםארוכיםבין——אירועיםמתוךתשעהזמניםבין——אירועיםסךהכול,סביריותרשנקבלאתאחדמהזמניםהארוכיםמאשראתאחדמהזמניםהקצרים。זלדגימהמֻטָּה．דוגמהמפורסמתאחרתשלדגימהמוטההיאפרדוקסהחברוּת［5，4］．לפיפרדוקסזה,לחבריכםישלרוביותרחבריםמאשרלכם。אךאיןסיבהלהיותמתוסכלים,מאחרשגםזותופעהמתמטיתטהורה。אםישלכם20חבריםבביתהספר,רביםמהםצפוייםלהיותאנשיםפופולריים。אלדוגמה,םלאליסישחבראחדבלבד,הסבירותשאתםחבריםשלההיאקטנה;סביריותרשזהמישהואחר。בניגודלכך,אםבובחברשלמחציתהתלמידיםבביתספרכם,סבירביותרשאתםתהיואחדמחבריושלבוב。

המתנהלאוטובוסהבאוספירתכמותהחבריםעשויותלהיראותלאקשורותזולזו。אךמנקודתמבטמתמטית,ככלהנראהיהיהלכםחבראחדכמובובמאותהסיבהבסיסיתלכךשסבירשתתפסואוטובוסאחריזמןארוךבין——אירועים。נניחשישנםשישהתלמידיםשלכלאחדמהםיש4חברים,ושלושהתלמידיםשלכלאחדמהםיש12חברים。אםאתםחבריםשלתלמידאחדבלבדמתוךתשעתהתלמידיםהאלה,סבירשחברכםיהיהאדםעם12חברים,אףעלפישישנםרקשלושהתלמידיםעם12חבריםמתוך6 + 3 = 9תלמידים。המספריםהאלהזהיםבדיוקלאלהשהשתמשנובהםבאיור2כדילהדגיםאתפרדוקסזמןההמתנה。זהממחישכילפרדוקסזמןההמתנהולפרדוקסהחברוּתישאותומקורמתמטי。ני。

הֲבָנַתפרדוקסזמןההמתנהשימושיתבסיטואציותרבות,כמולמשלהבנהעדכמהמהרמחלהמתפשטתבאוכלוסייה[6］．בקורסיםבאוניברסיטהובמחקרמדעי,פרדוקסזמןההמתנהמופיעלעיתיםקרובותבתחומיםכמותורתההסתברות,תורתהתוריםוניתוחרשתות。כפישראינו,מתמטיקהמספקתדרךלְאַחֵדרעיונותשוניםולראותמתיהםקשוריםזהלזה,מהשנכוןלארקלגביפרדוקסזמןההמתנהופרדוקסהחברות,אלאגםלגבידבריםרביםאחרים。

מילוןמונחים

פרדקסז：↑תופעהמתמטיתשעוסקתבזמניםשנראיםבלתיהגיוניים,אךהםלמעשהנכונים。בפרדוקסזמןההמתנה,אםאירועמתרחשבזמןשאותואנובוחריםבאופןאחידבאקראי,זמןההמתנההממוצעעדלאירועהבאארוךיותרממחציתהזמןשבין——אירועים。פרדוקסזמןההמתנהנקראגם”פרדוקסהאוטובוס”ו”פרדוקסהבקרה”。

זים(事件间时间)：↑כמותהזמןשביןשניאירועיםעוקבים,כמולמשלההגעותשלשניאוטובוסיםלתחנתהאוטובוס,אושתישיחותשלאדםעםאדםאחר。

תורתההסתברות(概率论)：↑תחוםבמתמטיקהשעוסקבנושאיםשקשוריםלה”סתברות”,שהיאתיאורמספרישלהסבירותשלתוצאהלהתרחש。“התפלגותהסתברותית”היאפונקציהמתמטיתשנותנתאתההסתברויותשלכלהתוצאותהאפשריותשלמשהו。

אופןאחידבאקראי(随机均匀)：↑התפלגותהסתברותיתשבהלכלתוצאהאפשריתישסיכויזההלהתרחש。

היסטוגרמה(柱状图)：↑דיאגרמהשמראהאתהשכיחותשלפריטיםבכמהטווחימספריםבמטרהלהשוותאתשכיחותהפריטיםבכלטווח。היסטוגרמהיכולהלהראותלמשלילדיםבטווחהגילים4 - 0,朝九晚五,14-10,וכןהלאה。גובההעמודהעבורטווחהגילים14-10שנים,לדוגמה,מצביעעלמספרהאנשיםשהםבטווחגיליםזה。

דגיtwain twain twain twain twain twainטtwain twain(有偏采样)：↑מתרחשתכאשרבוחריםאודּוֹגְמִיםפריטיםמאוסףשלפריטים,כמולמשלזמניםארוכיםבין——אירועיםאואדםעםחבריםרבים,באופןתכוףיותרביחסלפריטיםאחרים,כתוצאהמכלליהבחירה。

ינטרסים

המחבריםמצהיריםכיהמחקרנערךבהעדרכלקשרמסחריאופיננסישיכוללהתפרשכניגודאינטרסיםפוטנציאלי。

תודות

אנומודיםלקוראיםהצעיריםשלנו,Nia邱Taryn邱瓦莱丽·e·英格安东尼·金虹膜梁,枫木梁,Ami Masudaו-Ritvik慕克吉עבורהערותיהםהמועילותהרבות。אנוגםמודיםלהוריהםולמוריםשלהםLyndie -邱ו克里斯蒂娜Chow -עלשקישרואותנולקוראיםהצעיריםועודדואתהמשובשלהם。אנומבקשיםלהודותגםל虹膜梁עלשציירהאתאיור1．תודתנולקוראהמעריךולעורכיםשלנועלהצעותיהםהמועילות,ולSocioPatterns协作(ראוhttp://www.sociopatterns.org)לסיפקננים。纳米מודהעלהתמיכהמ——AFOSR欧洲办事处(מענקמספרfa9550 - 19 - 1 - 7024)。地图מודהעלהתמיכהמהקרןהלאומיתלמדעים(מענקמספר1922952)דרךתוכנית威胁检测(ATD)算法。

---

מקורות

[1]↑焊接，1957年。近距离服务的不稳定性。j .打开。Soc >,8:133-42。doi: 10.1057 / jors.1957.21

[２]↑增田，N.和平冈，T. 2020。1922年的等待时间悖论。复杂系统。2:1。doi: 10.22191 / nejcs /影响/ iss1/1

[3]↑Isella, L.， Romano, M.， Barrat, A.， Cattuto, C.， Colizza, V.， Van den Broeck, W.等，2011。儿科病房的近距离接触:用可穿戴传感器测量面对面的接近程度和混合模式。《公共科学图书馆•综合》6: e17144。doi: 10.1371 / journal.pone.0017144

[4]↑费尔德，1991。为什么你朋友的朋友比你多。点。j . Sociol。96:1464 - 77。doi: 10.1086/229693

［5］↑斯特罗加茨，S. 2012。你可以依靠的朋友．《纽约时报》。网上订购地址:https://opinionator.blogs.nytimes.com/2012/09/17/friends-you-can-count-on/

[6]↑Karsai M.， Kivelä， M.， Pan R. K.， Kaski K.， Kertész, J.， Barabási, a.l.等。2011。小而慢的世界:网络拓扑和突发如何减缓传播。理论物理。启E83:025102 (R)。doi: 10.1103 / PhysRevE.83.025102